第3宇宙速度

例えば、人工衛星をこの速度で打ち上げた場合、太陽系外の恒星間空間へと進んでゆく人工衛星(つまるところ惑星探査機)となる。

まずv:宇宙速度、G:万有引力定数、S:太陽の質量、R:地球の公転半径とする。

ここで第1宇宙速度の式において、Eの代わりにS、rの代わりにRと置くと、地球の公転速度Ve=√(GS/R)が求められる。

同様に第2宇宙速度の式において、Eの代わりにS、rの代わりにRと置くと、太陽を基準とした太陽系脱出のための速度V=√(2GS/R) (=√2×Ve)が算出できる。

万有引力定数G=6.67e−11[Nm²/kg²]、太陽の質量S=1.99e+30[kg]、地球の公転半径R=1.5e+11[m](=1AU)を代入して式を解けば、Ve=29.7e+3[m/s]、V=42.1e+3[m/s]が得られる。

このとき、地球から見た相対速度はV−Veなので、V−Ve=12.3e+3[m/s]、エネルギー保存則から、

m×v²/2 − GEm/r = m(V−Ve)²/2 − GEm/R

となり、これをvについて解いたもの、つまり

v3=√((V−Ve)² + 2GE(1/r − 1/R))

が第3宇宙速度である。

これに前述の値を入れて解けば、v3=16.6e+3[m/s]、すなわち約16.6km/s(14.34km/cBeat)が得られる。