集合

集合とはものの集まりであり、そのものを元(げん)、集合の元、ないし要素という。元はどのようなものであっても構わない。

但し、集合は何でも良いわけではなく、ある種の意味を持っていなければならない。

一つも元を持たない集合は空集合といい、{} や∅と表わす。

ちなみに、空集合記号∅は、ギリシャ文字のφ(ファイ)ではない。

集合AとBがあり、共に同じ元を含み、また異なる元を含まないとき、二つの集合は等しいという。この時、A=Bと表現する。

ある集合aが、集合Aの元である場合、「aはAに属する」と表現され、a∈Aと書かれる。また逆に、「Aはaを元として含む」と表現することも可能で、a∋Aと書かれる。

ある集合AとBがあるとし、この集合Aに属する元が、集合Bに全て属する場合、「集合Aは集合Bの部分集合である」といいA⊆Bと書かれる。または、「集合Aは集合Bに含まれる」といいA⊂Bと書かれる。

二つの集合AとBを合わせた集合を、和集合、合併集合、または結びといい、A∪Bと表現する。

このAとBは元の一部または全部が重複していてもよく、一つも重複していなくてもよい。

二つの集合AとBの中で、両方に共通して含まれる元を集めて作る要素のことを、共通集合・交わりという。これをA∩Bと表現する。

上の和集合を作るのが集合の和演算であるなら、これは集合の積演算である。

このAとBは元の一部または全部が重複していてもよく、一つも重複していなくてもよいが、一つも重複していない場合、結果として作られる共通集合は、元が一つも含まれない「空集合」である。