素数

素数単独での特殊な素数。以下の式では、素数でないnも存在する。

• メルセンヌ素数: 2ⁿ−1
• フェルマー素数: 2²ⁿ+1
• オイラー素数: n²+n+1
• レピュニット素数: (1)_n

特に名前のないもの。

• n!+1
• n!−1
• nまでの素数の積±1

素数そのものは無限に存在するが、こういった特殊な素数が無限に存在するかは未解明である。

素数のうち一定の条件に一致する組み合わせを素数の組といい、特に研究されているものには次のようなものがある。

• 差を見るもの
  • 差が2 [(p, p+2)] … 双子素数
  • 差が2と6または4と6 [(p, p+2, p+6)または(p, p+4, p+6)] … 三つ子素数
  • 差が2と6と8 [(p, p+2, p+6, p+8)] … 四つ子素数
  • 差が4 [(p, p+4)] … いとこ素数
  • 差が6 [(p, p+6)] … セクシー素数
• ソフィー・ジェルマン素数と安全素数 [(p, 2p+1)]

  pと2p+1が共に素数であるとき、pをソフィー・ジェルマン素数、2p+1を安全素数という。

素数が無限に存在することはユークリッドの定理により証明されている。

双子素数が無限に存在することは、2013(平成25)年5月、米ニューハンプシャー大の数学者によりほぼ証明された。

この証明では「間隔が7千万以内の素数のペアは無限にある」としているが、7千万という間隔は今後縮めていくことが可能としている。

物理学者フランク・ベンフォードが1938(昭和13)年に発見した分布法則で、ある(値の範囲が制限されていない)数値群を見たとき、最高桁が「1」である確率が最も高く全体の約30%、「2」は約18%、「3」は約13%、…のように大きくなるにつれ減り、「9」では約4%になる、というもの。

この法則は市場分析などに応用されてきたが、スペインの数学者Bartolo LuqueとLucas Lacasaが、この法則が素数の出現パターンにも当てはまることを解明した。

素数の出現に関する周期性その他の法則は、見つかっていない。

法則性は未発見だが、同時に法則性が無いことも明らかにはなっていない。そして現実に、素数は整数の中から一様に出現しているように見え、ベンフォードの法則にも従っているように見える。

ある素数と、その次の素数は、下一桁が一致するのを避ける傾向にある。

2桁以上の素数の下一桁は1、3、7、9の4種類なので、もし素数の発生が均等であるなら、ある素数の下一桁が1だとすると、その次の素数が1になる確率は1/4=25%と予測される。しかし2016(平成28)年3月11日にスタンフォード大学のKannan Soundararajanが発表した論文によると、10億個の素数を調べた限りでは、1で終わる素数の、次の素数の下一桁が1である割合は18%しかなく、3か7である割合が30%、9である割合が22%だった、としている。

インドの数学者シュリニヴァーサ・ラマヌジャン(Srinivasa Aiyangar Ramanujan)は、素数の研究者としても有名である。

一般的な素数の研究は、人よりも桁数の多い素数を人よりも早く発見することが主である。ラマヌジャンはそうではなく、素数の分布の研究、あるいは素数に分解可能で約数の多い数(高度合成数)の研究、などをしている。

こういった研究対象となる素数を、ラマヌジャン素数と言ったり言わなかったりするらしい。

参考までに、500未満の素数は次の95個である。

2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97、101、103、107、109、113、127、131、137、139、149、151、157、163、167、173、179、181、191、193、197、199、211、223、227、229、233、239、241、251、257、263、269、271、277、281、283、293、307、311、313、317、331、337、347、349、353、359、367、373、379、383、389、397、401、409、419、421、431、433、439、443、449、457、461、463、467、479、487、491、499

ちなみに各範囲内での素数の数は次のとおり。

• 1,000未満なら168個
• 2,000未満なら303個
• 3,000未満なら430個
• 4,000未満なら550個
• 5,000未満なら669個
• 6,000未満なら783個
• 7,000未満なら900個
• 8,000未満なら1,007個
• 9,000未満なら1,117個
• 10,000未満なら1,229個

これを著している時点で、熱心に探索されているのは、メルセンヌ素数と呼ばれる素数である。

簡単には、2ⁿ−1で素数であるもので、現在、GIMPSプロジェクトが分散型コンピューティングでこの素数の探索を続けている。

2008(平成20)年8月現在で確定している最大は、歴代通算45個目のメルセンヌ素数2^43,112,609−1で、1297万8189桁である。

なお、歴代通算46個目および47個目は45個目より桁が少ない。48個目以降で桁数の記録更新がなされる可能性がある。

31、331、3331、33331、333331、3333331、33333331、という7つの数はすべて素数である。

数列として面白いことから、このパターンで桁数の大きい素数を求める動きもある。

(10²⁰⁰−7)/3 = (3)₁₉₉1<200桁>までで最大の素数は、(10¹⁵¹−7)/3 = (3)₁₅₀1<151桁> であるらしい。