オイラーの公式 |
辞書:科学用語の基礎知識 算数・数学編 (NMATH) |
読み:おいらーのこうしき |
外語:Euler's formula |
品詞:名詞 |
18世紀の数学者レオンハルト・オイラーが発表した、指数関数と三角関数を繋ぐ式である。
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概要 |
次の式で表わされる。
eiθ = cosθ + isinθ
ここで、eは自然対数の底で、ex形式の式は指数関数である。また、iは虚数単位、cosとcosはそれぞれ三角関数である。θは任意の数で成立するが、特に複素数であるものをオイラーの公式と呼ぶことが多い。
数学、物理学、工学など至るところにその影響を及ぼしうるこの式は、物理学者のリチャード・ファインマンも「我々の至宝」であり「数学の中で最も素晴らしい公式」と評した。
特徴 |
オイラーの等式 |
この式でθにπを代入すると、次のようになる。
eiπ = cosπ + isinπ
cosπ=-1、sinπ=0なので、次のいずれかで表現できる。
eiπ = -1
eiπ + 1 = 0
この式は、解析学のe、幾何学のπ、代数学のiと、数学の三大分野が一つの式にまとまるものであり、ゆえに数学に興じる者は誰しもが口を揃えて美しいと評する。
しかしそれは本当だろうか。
eiπ = -1
改めて見れば、この式はeiπが-1だと言っている。マイナスが付いているのは非常に惜しく、-1などという数では、この式の美しさは虚像だと言っているかのようである。
円周率τで解決 |
円周率としてπを使うから上のような問題が生じるのである。代わりに、円周率としてτを用い、θにτを代入すると次のようになる。
eiτ = cosτ + isinτ
sinτ=sin2π=0は同じだが、cosτ=cos2π=1になるので、次の式で表現できる。
eiτ = 1
こうして邪魔なマイナスが消え、美しくなった。
また、eiπ+1=0の図形的な意味は半回転して1を加えると0に戻る(円弧を半周して半径分中心方向に移動すると、そこは中心である)ことを意味しているが、τは2πであり一回転を意味するので、図形的には一周すると元に戻ることを意味することになり、視覚的にもシンプルかつ美しいことが分かる。
リンク |
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