ある自然数aにおいて、a自体を除き1を含む約数の和がaと一致するときの、自然数aのこと。

目次 概要 特徴 主な完全数 メルセンヌ素数

概要

6、28、496、8128などが知られる。

現時点では、知られる完全数は全て偶数であり、しかも1の位が6または8である。

1の位が6または8以外が存在するか、あるいは奇数の完全数が存在するかどうかは未解決であり、存在しないという証明もまだなされていない。

特徴

主な完全数

• 6 = 1+2+3
• 28 = 1+2+4+7+14
• 496 = 1+2+4+8+16+31+62+124+248
• 8128 = 1+2+4+8+16+32+64+127+254+508+1016+2032+4064

メルセンヌ素数

ユークリッドによりメルセンヌ素数との関係が証明されており、2ⁿ-1をM_nと書くとして、M_nが素数(メルセンヌ素数)であるとき、2ⁿ⁻¹M_nは完全数である。

このため、紀元前から素数であることが知られていた4つのメルセンヌ素数に対応する、6、28、496、8128の4つの数は、紀元前より完全数であることが知られていた。

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