1進法

数は、右から左に順に、底^桁−1でその各桁の重みを表わす。

例えば10進法なら、1桁目は10⁰=1、2桁目は10¹=10、3桁目は10²=100、ということになる。もう少し簡潔にいうと、10進法は10になると桁が繰り上がりし、2進法は2になると桁が繰り上がる。

さて、1進法の場合、1になると桁が繰り上がることになる。1桁目は1⁰=1、2桁目も1¹=1、3桁目まで1²=1、ということになり、矛盾が生じる。1進法で0は0と表現できるが、1進法で1を表わそうとすると無限に繰り上がることになり定義不能、つまり、1進法は存在しないという結論に至ることができる。

上述のように、本来1進法は存在しえない。しかし、数字の0だけを使う数記法、と考え、次のような表現を1進法だと主張する者もいる。

• 0 = 0
• 1 = 00
• 2 = 000
• 3 = 0000
• 4 = 00000
• 5 = 000000

かくして、日本でもよく行なわれる正を書いて数を数えていく方法(横縦横縦横、で正を書いて正一つで5を表わす)を、1進法とする考え方もあるらしい。正の字は5進法という意見もあるが、正の字5個で繰り上がらないので完全ではなく、扱いとしては微妙らしい。

「数が1増えるごとに桁が一つ増える」と考えれば1進法と言えなくもないが、数学的には正しくないので注意が必要である。