ベジェ曲線

コンピューターにおける曲線表現方法の一つで、Be'zierとde Casteljauにより考案された。曲率の制御がしやすいのが特徴。

媒介変数(パラメーター変数)を用いることによって正確な範囲内に曲線を描くことができる。通常は3次ベジェ曲線が使われる。実用性は低いが、高次のベジェ曲線を描くことも可能。

制御点の少なさや編集のしやすさからアート方面で普及しているが、精度を求めるような工学設計には適さない。3DのモデラーやCADではベジェ曲線に代わりスプライン曲線が一般的となっている。

ベジェ曲線は文字の輪郭線を数式として表現するアウトラインフォントにしばしば用いられており、TrueTypeフォントでは2次ベジェ曲線が、また3次ベジェ曲線はPostScriptやMETAFONTで採用されている。

ベジェ曲線は次の式で表わされる
         n
  r(t)= Σ nCk×t^k×(1−t)^(n−k)×Pk
        k=0
  
nは2以上の整数, 媒介変数tは0以上1以下の実数, Pkは制御点の座標, 
r(t)は曲線上の点を意味する. 例えば3次のベジェ曲線だと,
x = Ax×(1−t)^3 + 3×Bx×t×(1−t)^2 + 3×Cx×t^2×(1−t) + Dx×t^3
y = Ay×(1−t)^3 + 3×By×t×(1−t)^2 + 3×Cy×t^2×(1−t) + Dy×t^3
のようになる. ここで A,B,C,D は制御点P1,P2,P3,P4にあたる.

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