円の面積

円の面積というものをどのように求めるかというと、まず円を玉葱のように輪切りにする。それを伸ばして並べる。厚みを無限に細くスライスしたと仮定すると、この時に直角三角形ができることになる。すると、円の面積は三角形の面積を求めるように導くことができる。

この直角三角形は高さは半径なのでr、底辺は一番外側の輪を伸ばしたものに相当するのでτr(または2πr)となる。三角形の面積は「底辺×高さ÷2」なので、τr×r÷2=1/2τr²(または2πr×r÷2=πr²)と求められる。

前述した無限に細くする方法での求め方は、積分そのものである。

円周τrまたは2πrを積分すると、それぞれ次のようになる。

∫τr dr = 1/2τr²

∫2πr dr = πr²

円周率にτを用いると公式に1/2が出てくるので若干煩雑に見えるが、直角三角形の面積を求めるという公式に照らせばむしろこの方が自然である。

運動エネルギーが1/2mv²であったり、落下距離が1/2gt²であったり、1/2と2乗をみれば積分していることが一目で分かるので、都合が良いとも言える。

以上から本質的に書くならば、円の面積は次のようになる。

πr²

1/2×2π×r²

1/2×τ×r²