浮動小数点数

単精度は最もよく使われるもので、様々なものがある。

IEEE 754では単精度で符号1ビット+指数部8ビット+仮数部23ビットで、2を基数とし、指数部に+127のゲタをはかせるバイアス方式である。IEEEの単精度の数値範囲は、絶対値で1.40129846e−45〜3.40282347e38の範囲となる。

その他、符号1ビット+指数部7ビット+仮数部24ビットとし、16を基数とする実装もある。

倍精度の場合、IEEE 754では符号1ビット+指数部11ビット+仮数部52ビットで、1023のゲタをはかせる。

数値範囲は、絶対値で4.940656458412465d−324〜1.797693134862316d+308となる。

4倍精度の場合、IEEE 754では符号1ビット+指数部15ビット+仮数部112ビットで、16383のゲタをはかせる。

数値範囲は、絶対値で6.4751751194380251109244389582276465q−4966〜1.1897314953572317650857593266280070q+4932となる。

例えば、十進数で1357を表現すると、次のようになる。

1357=1.357×10³

この場合、「1.357」が仮数部、「10」が底、「3」が指数部となる。

これを二進数で表現すると、次のようになる。

この場合、「1.0101001101」が仮数部、「2」が底、「10」が指数部となる。

ここではIEEE 754の単精度を用いることとし、符号1ビット、指数部8ビット、仮数部23ビットと仮定する。

符号は、正なら0、負なら1、となる。

指数部は8ビットの二進数。−127〜128までを表わすため、+127を加算した値とする(バイアス方式)。

仮数部は、左側が必ず「1.」となるよう正規化されるので、これは略し、小数点以下のみを扱うこととする。仮数部は23ビットだが、実質24ビットの精度があることになる。

従って、次のようになる。

(1357)₁₀=1.0101001101×2¹⁰

指数部=10+127=137=(10001001)₂

値0は、指数部(e)=仮数部(f)=0で表現する。また指数部(e)=0は正規化されてないことを現わす。

正数は符号(s)=0、負数は符号(s)=1で表わす。従って−0という値もありうる(単精度なら0x80000000が−0.0e+00になる)。

IEEE 754では指数部(e)がALL1(単精度ではe=0x7fまたは0xff)の場合、数値ではない特殊な値を表わす。この条件でかつ仮数部(f)=0の場合は∞、それ以外の場合はNaN(非数値)となる。いずれも符号(s)は有効なので、±∞、±NaNが存在することになる。