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素数

辞書:科学用語の基礎知識 算数・数学編 (NMATH)
読み:そすう
外語:prime number 英語 , 质数 大陸簡体 , 質數 台灣正體 , prim/o エスペラント
品詞:名詞
2000/10/11 作成
2016/03/18 更新

2、3、5、7、11…のように、1とその数自身以外に約数を持たない、1より大きい自然数のこと。

素数に1は含まれない。また2以外は全て奇数であり、2桁以上の素数の下一桁は1、3、7、9のいずれかとなる。

素数は自然数や整数を考える上で重要な要素と考えられている。数学としてだけでなく、暗号理論などにおいても用いられている。

現在知られる最も大きな素数は、GIMPSプロジェクトで2008(平成20)年に発見された45個目のメルセンヌ素数で、243,112,609−1であり、その桁数は1297万8189桁である。同プロジェクトは46個目、47個目まで発見しているが、この二つは45個目より桁が小さかった(詳細後述)。

特殊な素数

素数単独での特殊な素数。以下の式では、素数でないnも存在する。

  • メルセンヌ素数: 2n−1
  • フェルマー素数: 22n+1
  • オイラー素数: n2+n+1
  • レピュニット素数: (1)n

特に名前のないもの。

  • n!+1
  • n!−1
  • nまでの素数の積±1

素数そのものは無限に存在するが、こういった特殊な素数が無限に存在するかは未解明である。

特殊な素数の組

素数のうち一定の条件に一致する組み合わせを素数の組といい、特に研究されているものには次のようなものがある。

  • 差を見るもの
    • 差が2 [(p, p+2)] … 双子素数
    • 差が2と6または4と6 [(p, p+2, p+6)または(p, p+4, p+6)] … 三つ子素数
    • 差が2と6と8 [(p, p+2, p+6, p+8)] … 四つ子素数
    • 差が4 [(p, p+4)] … いとこ素数
    • 差が6 [(p, p+6)] … セクシー素数
  • ソフィー・ジェルマン素数と安全素数 [(p, 2p+1)]

    pと2p+1が共に素数であるとき、pをソフィー・ジェルマン素数、2p+1を安全素数という。

素数の数

素数が無限に存在することはユークリッドの定理により証明されている。

双子素数が無限に存在することは、2013(平成25)年5月、米ニューハンプシャー大の数学者によりほぼ証明された。

この証明では「間隔が7千万以内の素数のペアは無限にある」としているが、7千万という間隔は今後縮めていくことが可能としている。

ベンフォードの法則

物理学者フランク・ベンフォードが1938(昭和13)年に発見した分布法則で、ある(値の範囲が制限されていない)数値群を見たとき、最高桁が「1」である確率が最も高く全体の約30%、「2」は約18%、「3」は約13%、…のように大きくなるにつれ減り、「9」では約4%になる、というもの。

この法則は市場分析などに応用されてきたが、スペインの数学者Bartolo LuqueとLucas Lacasaが、この法則が素数の出現パターンにも当てはまることを解明した。

出現周期

素数の出現に関する周期性その他の法則は、見つかっていない。

法則性は未発見だが、同時に法則性が無いことも明らかにはなっていない。そして現実に、素数は整数の中から一様に出現しているように見え、ベンフォードの法則にも従っているように見える。

素数の偏り

ある素数と、その次の素数は、下一桁が一致するのを避ける傾向にある。

2桁以上の素数の下一桁は1、3、7、9の4種類なので、もし素数の発生が均等であるなら、ある素数の下一桁が1だとすると、その次の素数が1になる確率は1/4=25%と予測される。しかし2016(平成28)年3月11日にスタンフォード大学のKannan Soundararajanが発表した論文によると、10億個の素数を調べた限りでは、1で終わる素数の、次の素数の下一桁が1である割合は18%しかなく、3か7である割合が30%、9である割合が22%だった、としている。

ラマヌジャン

インドの数学者シュリニヴァーサ・ラマヌジャン(Srinivasa Aiyangar Ramanujan)は、素数の研究者としても有名である。

一般的な素数の研究は、人よりも桁数の多い素数を人よりも早く発見することが主である。ラマヌジャンはそうではなく、素数の分布の研究、あるいは素数に分解可能で約数の多い数(高度合成数)の研究、などをしている。

こういった研究対象となる素数を、ラマヌジャン素数と言ったり言わなかったりするらしい。

500未満の素数

参考までに、500未満の素数は次の95個である。

23571113、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97、101、103、107、109、113、127、131、137、139、149、151、157、163、167、173、179、181、191、193、197、199、211、223、227、229、233、239、241、251、257、263、269、271、277、281、283、293、307、311、313、317、331、337、347、349、353、359、367、373、379、383、389、397、401、409、419、421、431、433、439、443、449、457、461、463、467、479、487、491、499

ちなみに各範囲内での素数の数は次のとおり。

  • 1,000未満なら168個
  • 2,000未満なら303個
  • 3,000未満なら430個
  • 4,000未満なら550個
  • 5,000未満なら669個
  • 6,000未満なら783個
  • 7,000未満なら900個
  • 8,000未満なら1,007個
  • 9,000未満なら1,117個
  • 10,000未満なら1,229個

最大の素数

これを著している時点で、熱心に探索されているのは、メルセンヌ素数と呼ばれる素数である。

簡単には、2n−1で素数であるもので、現在、GIMPSプロジェクトが分散型コンピューティングでこの素数の探索を続けている。

2008(平成20)年8月現在で確定している最大は、歴代通算45個目のメルセンヌ素数243,112,609−1で、1297万8189である。

なお、歴代通算46個目および47個目は45個目より桁が少ない。48個目以降で桁数の記録更新がなされる可能性がある。

3で始まり1で終わる数

31、331、3331、33331、333331、3333331、33333331、という7つの数はすべて素数である。

数列として面白いことから、このパターンで桁数の大きい素数を求める動きもある。

(10200−7)/3 = (3)1991<200桁>までで最大の素数は、(10151−7)/3 = (3)1501<151桁> であるらしい。

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