オイラーの公式

この式でθにπを代入すると、次のようになる。

e^iπ = cosπ + isinπ

cosπ=−1、sinπ=0なので、次のいずれかで表現できる。

e^iπ = −1

e^iπ + 1 = 0

この式は、解析学のe、幾何学のπ、代数学のiと、数学の三大分野が一つの式にまとまるものであり、ゆえに数学に興じる者は誰しもが口を揃えて美しいと評する。

しかしそれは本当だろうか。

e^iπ = −1

改めて見れば、この式はe^iπが−1だと言っている。マイナスが付いているのは非常に惜しく、−1などという数では、この式の美しさは虚像だと言っているかのようである。

円周率としてπを使うから上のような問題が生じるのである。代わりに、円周率としてτを用い、θにτを代入すると次のようになる。

e^iτ = cosτ + isinτ

sinτ=sin2π=0は同じだが、cosτ=cos2π=1になるので、次の式で表現できる。

e^iτ = 1

こうして邪魔なマイナスが消え、美しくなった。

また、e^iπ+1=0の図形的な意味は半回転して1を加えると0に戻る(円弧を半周して半径分中心方向に移動すると、そこは中心である)ことを意味しているが、τは2πであり一回転を意味するので、図形的には一周すると元に戻ることを意味することになり、視覚的にもシンプルかつ美しいことが分かる。